Ani matematika není neměnná. Evoluce královny věd

Příběh matematiky od Anne Rooney je skvělá kniha zhuštěných informací o matematice. Autorka se v knize věnuje vývoji matematiky od vzniku konceptu čísel, geometrie, přes kvadraturu kruhu, kalkulus až po teorii množin, matematické důkazy, logiku a filozofické základy matematiky. Škoda, že jsem tuto knihu neměl po ruce při studiu na střední škole / gymnáziu. Matematika by tak hned bývala mohla být zajímavější.

Anne Rooney stravitelnou formou vysvětluje stěžejní matematické koncepty a přibližuje je čtenáři, který o nich nemusí mít žádné hlubší povědomí.

Lingvistický determinismus

Ve vztahu k číslům mne zaujalo několik konceptů – myšlenek. Zejména pak důležitost znalosti jazyka a existence pojmů k tomu, abychom o čemkoliv vůbec mohli uvažovat (lingvistický determinismus). Pro co nemáme pojmy, to nemůžeme v zásadě ani popisovat. Matematika tak představuje takový systém pojmů – jazyk – díky kterému je možné popisovat reálie všedního života. Tímto způsobem lze sledovat například vznik čísel za účelem zachycení a zaznamenání počtu čehokoliv. Vznik čísel zároveň ale umožnil další rozvoj matematiky samotné. Matematika nám nabídla konkrétní slova, která nám dále umožnila uvažovat o matematice samotné.

Topologie zakřivených ploch

Zajímavé mi rovněž přišlo zdůrazňované propojení algebry a geometrie. Ačkoliv si matně vybavuji ze středoškolské matematiky jakési náznaky propojení obou disciplín, zejména ve formě algebraických zápisů v rámci analytické geometrie / stereometrie, nikdy jsem si neuvědomoval, že jak algebra, tak geometrie v zásadě popisují totéž.

Geometrie zakřivených povrchů je také něco, co mi přijde fascinující. V tomto bodě se mi vybavují návštěvy pražského planetária a přednášky prof. Kulhánka o topologii vesmíru. Tato oblast nabízí zajímavé paradoxy. Jedním z nich je například existence zakřivených ploch, které existují v n-rozměrném prostoru, ale samy o sobě mají jen dvě dimenze (rozměry).

Může stejným způsobem existovat i náš vesmír? Pokud vezmeme v úvahu arch papíru a představíme si, že na jeho povrchu žijí miniaturní bytosti, potom takové bytosti budou vnímat pouze dva rozměry na daném archu, bez ohledu na jeho zakřivení v trojrozměrném prostoru. Můžeme i my a náš trojrozměrný vesmír být také jen pomyslným archem papíru, který je zkroucený ve vícerozměrném prostoru? Teoreticky možné to nejspíš je. Problém ale je celé si to představit. Narážíme zde snad v přeneseném smyslu na něco jako jsou limity lingvistického determinismu?

V každém případě této knize vděčím za tip na Plochozemi od E. Abbotta, kterou jsem okamžitě zařadil na svůj seznam knih k přečtení.

Chaos a fraktály

Chaos je ostatně také něco, co přitahuje moji pozornost aniž bych dokázal vysvětlit proč. Fraktály jako něco úzce spojeného s teorií chaosu proto moji pozornost upoutaly také. Nabízí se zde totiž další paradoxy. Tak například Kochova vločka. Jedná se o útvar, jehož plochu je možné vypočítat, nicméně obvod je nekonečný. Opět narážíme na limity naší představivosti. Tedy alespoň já určitě.

Stejně tak pokud jde o fraktální dimenzi. Tímto označení popisujeme nekonečně dlouhou křivku, která neuzavírá žádnou plochu, a proto není ani dvojrozměrná. Slovy klasika lze uzavřít: „Zcela tomu rozumím, to nemohu říct.“ Zajímavé to ale rozhodně je.

Vývoj jde dále

K zamyšlení rovněž nutí skutečnost, ke kolika objevům došlo nezávisle na sobě na území Evropy, Číny nebo Indie. Ačkoliv můžeme vyloučit, že daní badatelé spolu v minulosti sdíleli své znalosti a poznatky, přesto však nezávisle na sobě, a kolikrát i zhruba ve stejnou dobu, vznikaly objevy jako je kalkulus, geometrie zakřivených ploch, algebra a další. Je snad vývoj v oblasti nejen matematiky nevyhnutelný?

Stejně jako dříve v minulosti došlo k propojení algebry a geometrie, ve 20. století došlo ke spojení matematiky a logiky. Ve snaze vytyčit jasné základy matematiky se mnozí, v čele s Davidem Hilbertem či Bertrandem Russellem pokoušeli matematiku ztotožnit s logikou. Nebo pro matematiku alespoň jednoznačně určit základní logické axiomy, které dále měly pomoci v jejím dalším rozvoji.

…co na to neurčitost?

Tyto snahy však záhy postavil na hlavu Kurt Gödel, matematik s českými kořeny, svými větami o neúplnosti. Gödel konkrétně dokázal, že „v jakékoli bezesporné formální teorii obsahující aritmetiku přirozených čísel, která dokazuje základní aritmetická pravidla, můžeme vytvořit aritmetický výrok, který je pravdivý, ale v této teorii nedokazatelný. Tedy jakákoli účinně vytvořená teorie schopná vyjádřit elementární aritmetiku nemůže být zároveň jak bezesporná, tak úplná.“

Aniž bych si hrál na to, že tomu tak úplně rozumím, v zásadě má jít o to, že pokud má matematika stát na uceleném souboru základních axiomů (předpokladů), pak výsledný systém bude vždy buď neúplný (tzn. nebude poskytovat odpovědi na všechny otázky), nebo při jeho aplikaci budou při odpovědích na tyto otázky vznikat rozpory. Vnímám to tak, že matematika tím pádem může ze své povahy nabízet odpovědi pouze na něco nebo odpovědi, které nabízí na všechno mohou v některých případech být ve vzájemné rozporu.

O tomtéž psal Tomáš Sedláček i ve své Ekonomii dobra a zla ve vztahu k ekonomii ve svém rozboru teorie mezního užitku.

Co si z toho všeho odnést? Asi to, že ve třetí dekádě 21. století stále bezpečně víme, že nic nevíme. Posouváme se snad ale směrem, že teoreticky víme i to, co nemůžeme nikdy vědět? To nechám na posouzení každého zvlášť.